自然界中有不少神奇現(xiàn)象令人震撼，你能想到蜂巢、肥皂泡和海綿外骨骼之間的奇妙聯(lián)系嗎？答案是它們鐘愛六邊形。為何蜜蜂會(huì)打造出完美的六邊形蜂巢？這當(dāng)然不是什么神秘的力量，而是其中富含的深刻數(shù)學(xué)和物理學(xué)道理。

Part.1 蜜蜂，天生的數(shù)學(xué)家？

蜂巢簡直是個(gè)工程學(xué)奇跡：它由一排排棱鏡似的“小隔間”組成，每一個(gè)“小隔間”的橫截面都是完美的六邊形；由蜂蠟制成的墻壁，每一面的厚度都相當(dāng)精確；所有的房間沿水平方向微微傾斜，不僅避免蜂蜜從蜂巢里流出來，還讓整個(gè)蜂巢的方向與地球磁場方向一致。

蜜蜂在動(dòng)工之前并沒有做過統(tǒng)籌規(guī)劃，也不可能拿到設(shè)計(jì)圖紙，它們卻能分工合作，鬼使神差地完成了如此精妙絕倫的蜂巢。

蜜蜂是怎么做到的？

古希臘哲學(xué)家帕普斯（Pappus of Alexandria）認(rèn)為，蜜蜂一定天賦異稟，有著“幾何學(xué)的遠(yuǎn)見卓識”。那么，又是誰給了它們這種遠(yuǎn)見卓識，似乎只能是上帝吧？莫非蜜蜂果真像威廉·柯比（William Kirby）在1852年說的那樣，是“天生的數(shù)學(xué)家”？不管你信不信，反正達(dá)爾文不信。達(dá)爾文認(rèn)為主導(dǎo)這一切的是進(jìn)化論，而不是什么神祗的力量，于是他進(jìn)行了一系列實(shí)驗(yàn)，想證實(shí)蜜蜂是否僅憑進(jìn)化和遺傳得來的本能就可以建造出完美的蜂巢。

下一個(gè)問題是，為什么是六邊形？這其實(shí)是一個(gè)很簡單的幾何問題。假設(shè)我們想用相同形狀和大小的圖形密鋪一個(gè)平面（使圖形不留空隙、也不互相重疊地鋪滿整個(gè)平面），那么只有3種正多邊形可以做到：正三角形、正方形和正六邊形。（這里指規(guī)則鑲嵌。關(guān)于不規(guī)則鑲嵌可參見《彭羅斯：不思考生物化學(xué)的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主不是好的數(shù)學(xué)家》。）在鋪滿同等面積的情況下，使用正六邊形所需要的周長之和最小。這就不難理解蜜蜂為什么會(huì)選擇六邊形了，因?yàn)榉涑彩怯梅湎炞龅模鄯洚a(chǎn)出蜂蠟是消耗能量的，它們當(dāng)然希望省些力氣——這點(diǎn)小心思就跟打工人想少搬幾塊磚一樣。

人們早在18世紀(jì)就明白了這一點(diǎn)，用達(dá)爾文的話說，六邊形的蜂巢是“最省勞動(dòng)力、也最省材料的選擇”。他認(rèn)為，既然六邊形蜂巢所需要的能量和時(shí)間是最少的，那么在自然選擇的作用下，這種建造方式就成了蜜蜂的本能。不過，就算蜜蜂真的會(huì)測量巢房的角度，會(huì)測量墻壁的厚度，它們也未必需要依賴這種本能。因?yàn)椋瑒?chuàng)造六邊形是大自然一貫的做法。

Part.2 大自然更愛“斤斤計(jì)較”

如果你在水面上吹一層泡泡——也就是“泡泡筏（Bubble raft）”——這些泡泡最后都會(huì)變成六邊形或者近似于六邊形的形狀。你不可能看到有哪個(gè)泡泡筏里全是正方形的泡泡，如果有4個(gè)泡泡聚集在了一起，它們會(huì)馬上重新排列成“三足鼎立”的樣子，交界處就像經(jīng)典的奔馳標(biāo)志，三邊相接，夾角差不多都是120°。

單層的“泡泡筏”由大多數(shù)六邊形（不一定是正六邊形）的泡泡組成。有一些“缺陷”泡泡可能有五面或七面。但三邊相交，角度約為120°。圖源：Shebeko/Shutterstock

蜂巢中的六邊形尚且有個(gè)“幕后推手”——說的就是蜜蜂，而泡泡筏中的六邊形可并沒有什么神秘力量在驅(qū)使。如果硬要說有，那么這個(gè)神秘力量就是物理學(xué)規(guī)則。（參見《數(shù)理史上的絕妙證明：簡單泡泡背后的恐怖數(shù)學(xué)》）

如果我們從平面的泡泡筏推演到立體的“泡泡堆”，結(jié)果也是類似的。假如你用吸管對著一碗肥皂水吹氣，吹起一堆泡沫，你會(huì)看到，當(dāng)泡泡堆積在一起之后，它們四面邊界相交于一個(gè)點(diǎn)，夾角約為109°——沒錯(cuò)，這個(gè)角度就是正四面體中心到各頂點(diǎn)連線的夾角。

泡泡筏和泡泡堆中的連接方式是由誰決定的呢？大自然顯然比蜜蜂更會(huì)算賬。泡泡和皂膜是由水組成的（當(dāng)然，表面有一層皂液分子），作用于液體表面的表面張力會(huì)拉動(dòng)泡泡，讓其表面積盡可能的小。這就是為什么雨滴大致呈球形的原因，因?yàn)樵谙嗤w積下，球形的表面積是最小的；水滴在蠟質(zhì)葉片上會(huì)縮成水珠，也是同樣的道理。

當(dāng)水灑在疏水表面時(shí)，它可能會(huì)分裂成水滴。液滴的形狀最終由表面張力、重力和作用于水和水與固體表面之間的力決定。表面張力將液滴拉成大致的球形。如果后兩者更強(qiáng)，水滴就會(huì)像透鏡樣平鋪在表面上。如果疏水性不強(qiáng)，小水滴就會(huì)擴(kuò)散成一層平坦光滑的薄膜。丨圖源：Stuchelova,Kuttelvaserov/Shutterstock；Olgysha/Shutterstock；Pitiya Phinjongsakundit/Shutterstock

現(xiàn)在我們知道了表面張力決定泡泡的連接方式，泡沫總會(huì)找到一種具有最小表面張力的結(jié)構(gòu)，也就是使總表面積最小的結(jié)構(gòu)。但是，關(guān)于泡沫的結(jié)構(gòu)還需要考慮另一個(gè)問題，即力學(xué)上的穩(wěn)定。在連接點(diǎn)處，沿著不同方向的作用力必須達(dá)到平衡。無論是泡泡筏的平鋪還是泡泡堆的四面相連，都是能滿足這一要求的連接方式。

有人認(rèn)為，蜂巢也可以看作是蜂蠟?zāi)讨笮纬傻摹芭菖莘ぁ保@就無法解釋為什么造紙胡蜂（paper wasp，Polistes dominula）的蜂巢里也是六邊形組成。它們的窩可不是蜂蠟做的，而是它們自己的唾液與木材纖維、莖等混合咀嚼之后得到的糊狀“紙漿”。表面張力在其中起不到什么作用。而且，不同類型的黃蜂遺傳了不同的建筑設(shè)計(jì)能力，這種差別很明顯。

用自己分泌的柔軟蜂蠟搭建完美六邊形蜂巢，蜜蜂似乎是進(jìn)化出了這種能力。但也有些研究者認(rèn)為，柔軟的蜂蠟上本身存在的表面張力就足以把每個(gè)“小隔間”拉伸成特定的形狀，就像泡泡筏中的泡泡堆積一樣。丨圖源：Grafissimo/Getty

力學(xué)規(guī)律只告訴了我們泡泡之間的連接方式，卻沒有告訴我們泡沫里的每一個(gè)泡泡最終會(huì)形成什么形狀。仔細(xì)看，這些泡泡是具有不同形狀和大小的多面體，多面體的邊都不是筆直的直線，多少帶有一點(diǎn)點(diǎn)弧度；有的面有五條邊，有的面有六條邊，也有的只有四條甚至三條邊。這是因?yàn)榕菖輧?nèi)的氣體壓力與氣泡體積成反比，大氣泡旁邊的小氣泡會(huì)向外膨脹，發(fā)生輕微的彎曲，所以這些不同形狀的多面體都能通過適當(dāng)?shù)奈⒄{(diào)，形成四面相接的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。盡管它們遵守一些幾何規(guī)則，但也相當(dāng)混亂。

有沒有那種所有泡泡都是一樣大小的“完美”泡沫堆呢？什么樣子的泡沫堆既能使得泡泡的表面積總和最小，又能在連接處滿足角度的要求呢？這個(gè)問題已經(jīng)爭論了很多年。在很長一段時(shí)間內(nèi)，人們認(rèn)為理想的泡泡形狀是由6個(gè)正方形和8個(gè)正六邊形表面圍成的十四面體（截角八面體）。直到1993年，都柏林三一學(xué)院的兩位物理學(xué)家Denis Weaire和Robert Phelan發(fā)現(xiàn)了一種不那么規(guī)則、表面積卻更小的結(jié)構(gòu)，它由8種不同形狀的泡泡重復(fù)排列而成。后來，這個(gè)略顯復(fù)雜的圖案出現(xiàn)在了2008年北京奧運(yùn)會(huì)游泳館“水立方”的外立面上——它就是“水立方”泡沫圖案的設(shè)計(jì)靈感來源。

Weaire-Phelan的泡沫結(jié)構(gòu)丨圖源：wiki

生物細(xì)胞中出現(xiàn)的一些圖形，也遵循了泡泡結(jié)構(gòu)的形成機(jī)制。例如，蒼蠅的復(fù)眼是由一個(gè)個(gè)六邊形組合在一起的，就像泡泡筏中那樣；每一只小眼的感光細(xì)胞，也是四個(gè)四個(gè)地連接在一起，就像泡泡堆一樣。即使在發(fā)生了突變的蒼蠅身上，它們眼睛里每一組感光細(xì)胞不止四個(gè)，其排列方式仍然跟泡泡模式大致相同。

氣泡和泡沫在自然界中也有實(shí)際用途。圖中展示的是一種浮掛在海中生活的紫蝸牛，泡泡包裹著它們分泌的粘液形成浮筏使，它們以捕食生活在水面的小生物為生。丨圖源：Dorling Kindersley；Denis Riek

Part.3 表面張力塑造極小曲面

同樣由于表面張力，皂膜會(huì)沿著閉合的線框形成一個(gè)平整的薄膜——想想看，你在吹泡泡時(shí)，塑料圈上是不是出現(xiàn)了一層膜？如果線框被彎折，那么皂膜的表面也會(huì)跟著彎曲。皂膜最終成型的曲面，就是能覆蓋整個(gè)空間，并且是表面積最小的一種形狀。如果你是一名建筑師，你就可以從中學(xué)到怎樣用最省材料的方式建造屋頂。事實(shí)上，很多建筑師比如如弗雷·奧托（Frei Otto）確實(shí)會(huì)從皂膜那兒“偷師學(xué)藝”，他們青睞“極小曲面”在幾何造型上的美麗與優(yōu)雅，當(dāng)然也因?yàn)檫@樣做更省耗材。

德國建筑師、工程師弗雷·奧托致力于使用最少的材料進(jìn)行設(shè)計(jì)，創(chuàng)造了眾多經(jīng)典建筑。圖為建于1963年德國漢堡的國際園藝展館。圖源：Atelier Frei Otto Warmbronn

所謂“極小曲面”，是指平均曲率為零的曲面。在表面張力的作用下，每一個(gè)表面都在“追求”最小，不僅要讓表面積最小，也要讓平均曲率趨于最小。曲率，是表征彎曲程度的概念，彎曲得越劇烈，曲率就越大。曲率可以是正值（外凸），也可以是負(fù)值（內(nèi)凹，或者說鞍形）。因此，只要正負(fù)曲率互相抵消，這個(gè)曲面的平均曲率就為零，從而成為一個(gè)極小曲面。

如果一個(gè)極小曲面可以把空間分隔成由各式通道按照一定規(guī)律組成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，那么這個(gè)曲面就叫作周期性極小曲面。（這里的周期性是指一組結(jié)構(gòu)不斷地重復(fù)出現(xiàn)，或者說整個(gè)圖形是有規(guī)律的。）這樣的曲面在19世紀(jì)被發(fā)現(xiàn)時(shí)，似乎只被當(dāng)成了數(shù)學(xué)家搗鼓出來的玩具，但是現(xiàn)在我們知道，這是自然界用表面張力創(chuàng)造出來的絕妙規(guī)律。（值得注意的是，數(shù)學(xué)上證明極小曲面和物理上的構(gòu)造并不等同。）

Part.4 當(dāng)極小曲面出現(xiàn)在生物的細(xì)胞或外殼

從植物到魚類再到大鼠，它們的細(xì)胞中都能找到這種具有極小曲面的膜結(jié)構(gòu)。至于這種膜結(jié)構(gòu)的確切作用，也許是用來隔開不同的生化反應(yīng)，避免相互影響；也許是為了用最少的材料創(chuàng)建最多的“工作表面”，之所以這么說，是因?yàn)槟け砻娣植加写罅康拿富蚱渌钚苑肿樱苓M(jìn)行多種生化反應(yīng)。暫且不管它的功能是什么，創(chuàng)造這種結(jié)構(gòu)其實(shí)并不需要一套復(fù)雜的“基因說明書”，物理學(xué)規(guī)則自會(huì)搞定這一切。

有些種類的蝴蝶，例如歐洲的黃星綠小灰蝶（green hairstreak，Callophrys rubi）和寬絨番鳳蝶（emerald-patched cattleheart，Parides sesostris），其翅膀鱗片上就有一種周期性極小曲面——螺旋二十四面體（gyroid）。從曲面的凸起處和從其他結(jié)構(gòu)處反射回來的光波之間會(huì)發(fā)生干涉，波長的變化也就意味著顏色的消失或出現(xiàn)。這就是翅膀鱗片產(chǎn)生顏色的特別技巧。

頭帕科的一種海膽（Cidaris rugosa）的外骨骼也包含多孔網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)，這是另一種周期性極小曲面。外骨骼會(huì)長出長長的尖刺，主要成分跟白堊和大理石一樣，都是碳酸鈣。而這種多孔網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)讓外骨骼既堅(jiān)固又輕便，有點(diǎn)像制造飛機(jī)時(shí)使用的泡沫金屬。

Cidaris rugosa丨圖源：wiki；Christopher Mah/echinoblog

海膽是怎么用碳酸鈣這種堅(jiān)硬、不易變形的礦物做成多孔網(wǎng)格的呢？顯然，它們應(yīng)該先是用柔軟靈活的膜制作了一個(gè)內(nèi)部互通的網(wǎng)狀模具，然后再讓堅(jiān)硬的材料在模具內(nèi)部結(jié)晶成型，成為類似于泡沫金屬的“泡沫礦物”。

阿式偕老同穴海綿（Euplectella aspergillum英文俗稱維納斯花籃）的多孔骨架，就像凝固的泡沫構(gòu)成——礦物質(zhì)就填充在泡狀軟組織的交界處周圍。圖源:Dmitry Grigoriev/Shutterstock

這個(gè)辦法還可以用來實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜的目的。比如，光線在這種網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)中會(huì)發(fā)生多次反射，形成復(fù)雜迂回的反射路徑，這些泡沫礦物就像鏡子，可以用來控制或引導(dǎo)光線的傳播方向。鱗沙蠶（Aphrodita aculeata，一種海洋多毛類蠕蟲）就是這樣做的，它們的幾丁質(zhì)外棘刺內(nèi)含有中空的蜂巢式微管，這些看似像毛發(fā)的結(jié)構(gòu)就成了天然可引導(dǎo)光線的光纖。它們可以根據(jù)光照方向改變身體顏色，這似乎就是它們震懾捕食者的手段。

鱗沙蠶因其體型和行動(dòng)像老鼠，因此俗稱為“海鼠（sea mouse）”丨圖源：wiki

海膽和鱗沙蠶等先用軟組織或膜制作模具，再通過“澆鑄”過程在模具內(nèi)部形成具有特定形狀的外骨骼的方法，即所謂的“生物礦化作用（Biomineralization）”，在海洋生物中屢見不鮮。例如，一些海綿動(dòng)物的外骨骼看上去像是腳手架，那其實(shí)就是條狀礦物用這種方式連接起來的，而且，礦物“條”的連接處跟泡泡堆非常類似——如果表面張力塑造了這些結(jié)構(gòu)，那就絕對不是巧合。

生物礦化作用在放射蟲和硅藻等海洋生物身上產(chǎn)生了無比瑰麗的視覺效果。一些放射蟲和硅藻的外骨骼擁有精妙無比的圖案：礦物組成了一個(gè)個(gè)六邊形和五邊形，而且排列得齊齊整整，你甚至可以管它們叫海中蜂巢。19世紀(jì)末，當(dāng)?shù)聡飳W(xué)家（同時(shí)也是一名極具天賦的藝術(shù)家）恩斯特·黑克爾（Ernst Haeckel）第一次在顯微鏡下看到這些圖案時(shí)，震撼的畫面令他折服。驚嘆之余，他將這些圖案畫了下來，并出版了繪畫作品集《自然界的藝術(shù)形態(tài)》（Art Forms in Nature）。這部作品在20世紀(jì)初的藝術(shù)家之間非常有影響力，時(shí)至今日仍令人贊嘆。

“不僅是圖集，而是對世界觀的總結(jié)”，著名德國生物學(xué)史專家的Olaf Breidbach如此評價(jià)海克爾的作品。丨圖源：Ernst Haeckel,Kunstformen der Natur(1904).

在黑克爾看來，生物身上展現(xiàn)出來的這些圖案是大自然的神來之筆，可見大自然具有超乎想象的創(chuàng)造力和藝術(shù)表現(xiàn)力。當(dāng)然，我們今天已經(jīng)知道，這些圖案真正的“幕后推手”不是什么神祗的力量，而是表面張力，盡管如此，我們依然不能否認(rèn)他觀念里的核心思想——

面對自然界創(chuàng)造出來的這些奇跡般的、無處不在的美麗，我們只有嘖嘖稱奇的份兒。